POTENCIAÇÃO

Representamos por an, a potência de base real a e expoente inteiro n.
Definimos a potência an nos casos abaixo:

1º caso: Expoente inteiro maior que 1.
Potência de expoente inteiro maior que 1 é o produto de tantos fatores iguais à base quantas forem as unidades do expoente.
Assim:
Potenciação
Exemplos:
a) 43 = 4 · 4 · 4 = 64
b) 15 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1
c) (–2)4= (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16
d) Potenciação

2º caso: Expoente 1
Toda potência de expoente 1 é igual à base.
Assim:
Potenciação
Exemplos
a) 51 = 5
b) Potenciação

3º caso: Expoente zero
Toda potência de expoente zero é igual a 1.
Assim:
Potenciação
Exemplos
a) 50 = 1
b) Potenciação = 1

4º caso: Expoente inteiro negativo
Toda potência de expoente inteiro negativo e base não-nula é igual à potência de base igual ao inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado.
Assim:
Potenciação
Exemplos:
a) Potenciação

b) Potenciação

c) Potenciação

Observação:
Sendo n um número inteiro, temos:

1aa = 0 e n > 0 seta an = 0
2a)  a = 0 e n < 0 seta an pertence a R
3a)  a > 0 seta an > 0
4a)  a < 0 e n par seta an > 0
5a)  a < 0 e n ímpar seta an < 0


Propriedades

Consideremos os números reais a e b, e os números naturais m e n. Então são válidas as seguintes propriedades.

P1: Produto de potências de mesma base
Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.
Potenciação
Justificativa:
Potenciação Potenciação = Potenciação

Assim: am · an = am+n.
Exemplos:
a) 23 · 22 = 23+2= 25
b) 4x · 4-x+2 = 4x+(-x+2) = 42
c) 3 · 32 · 33 = 31+2+3 = 36

P2: Quociente de potências de mesma base
Para dividirmos potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.
Potenciação
Justificativa:
Potenciação

1°. Sendo m > n, temos
Potenciação
2°. Se m = n, Potenciação = 1= a(m-n) = a0 = 1

3°. Se PotenciaçãoPotenciação = a (m - n)

Exemplos:
a) Potenciação = 26-2 = 24
b) Potenciação = 5x-2
c) Potenciação= 4(x+2)-(x-3) = 45

P3: Produto de potências de mesmo expoente
Para multiplicarmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e multiplicamos as bases.
Potenciação

Justificativa
Potenciação
Potenciação
Potenciação
Assim: an · bn = (ab)n.

Exemplos
a) 24 · 84 = (2 · 8)4 = 164
b) x3 · y3 · z3 = (x · y · z)3

P4: Quociente de potências de mesmo expoente
Para dividirmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e dividimos as bases.
Potenciação
Justificativa:
Potenciação
potenciacao- Potenciação
Assim:
Potenciação

Exemplos:
a) Potenciação
b) Potenciação

P5: Potência de uma potência
Para elevarmos uma potência a um novo expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
Potenciação
Justificativa:
Potenciação
Potenciação

Exemplos:
a) (23)2 = 23.2 = 26
b) Potenciação = 32.3.2 = 312

Observação
As propriedades apresentadas podem ser estendidas para os expoentes m e n inteiros.
Exemplos
a) 23 · 2-2 = 23 + (-2) = 21 (P1)
b) Potenciação = 52 - (-3) = 52 + 3 = 55 (P2)
c) 5-3 · 2-3 = (5 · 2)-3 = 10-3 (P3)
d) Potenciação (P4)
e) Potenciação (P5)


Situações Especiais

A. (– a)n  e  –an

As potências (–a)n e –an , em geral, apresentam resultados diferentes, pois:
Potenciação
Potenciação

Exemplos
a) (–2)4 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16
b) –24 = – 2 · 2 · 2 · 2 = –16
c) (–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8
d) –23 = – 2 · 2 · 2 = –8

B. Potenciação
As potências Potenciação, em geral, apresentam resultados diferentes, pois:
Potenciação
e
Potenciação

Exemplos
a) Potenciação = (32) · (32) · (32) = (32)· 3 = 36
b) Potenciação = (3)2 · 2 · 2 = 32·4



author
Prof° Walter Coelho
Resolvi ensinar matemática de um jeito diferente, compartilhando!!!