Quadrilátero




  Definição:
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.


Quadrilátero ABCD
   Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados opostos.


  Elementos
   Na figura abaixo, temos:
Quadrilátero ABCD
Vértices:  A, B, C, e D.
Lados:
Diagonais:
Ângulos internos ou ângulos do
quadrilátero ABCD: .
   Observações
  1. Todo quadrilátero tem duas diagonais.
  2. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.

   Côncavos e Convexos
    Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos.
   
Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.


Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo






Quadrilátero
  Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo


A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º.
   Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.
 Do triângulo ABD, temos :                  a + b1 + d1 = 180º.      1
   Do triângulo BCD, temos:
                 c + b2 + d2 = 180º.       2
   Adicionando 1 com 2 , obtemos:
                 a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º
                 a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º

                 a + b + c + d = 360º

Observações
  1.Termos  uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo:
Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono.
  2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.
Se = 360º

Quadriláteros Notáveis

Paralelogramo

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
Exemplo:

h é a altura do paralelogramo.
O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado  centro de simetria.
    Destacamos alguns paralelogramos: 



Retângulo
Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).
Exemplo:
    Losango
Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.
Exemplo:
    Quadrado
Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes.
Exemplo:

   É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente retângulo e losango.

   Trapézio
É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.
  Exemplo:
      
    Denominamos trapezóide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos.


  Destacamos alguns trapézios:

  Trapézio retângulo
É aquele que apresenta dois ângulos retos.
Exemplo:
    Trapézio isósceles
É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes.
Exemplo:

 
  Trapézio escaleno
É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes.
Exemplo:
 


Propriedades dos Paralelogramos
1ª Propriedade
Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
H:  ABCD é paralelogramo. T:  
Demonstração
Afirmativa Justificativa
Segmentos de paralelas entre paralelas.
Segmentos de paralelas entre paralelas.

2ª Propriedade
Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.
H: ABCD é paralelogramo. T: 
Demonstração
Afirmativa Justificativa
Hipótese.
Hipótese.
Lado comum.
Caso L.L.L.

3ª Propriedade
As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.
H:  ABCD  é paralelogramo T: 
Demonstração
Afirmativa Justificativa
é diagonal   (2ª propriedade)
Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.

Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.
  1.     

 4ª Propriedade
As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.
H: ABCD é paralelogramo. T: 
    
Demonstração
Afirmativa Justificativa
  1.  
Ângulos alternos internos.
  1.  
Lados opostos (1ª propriedade).
Ângulos alternos internos.
  1.  
Caso A.L.A..
  1.  
Lados correspondentes em triângulos congruentes.

Resumindo:
     Num paralelogramo:
  • os lados opostos são congruentes;
  • cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes;
  • os ângulos opostos são congruentes;
  • as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.
 Propriedade característica do retângulo.
As diagonais de um retângulo são congruentes.


T: ABCD  é retângulo. H: .


fonte: http://www.somatematica.com.br/
author
Prof° Walter Coelho
Resolvi ensinar matemática de um jeito diferente, compartilhando!!!