Semelhança de Polígonos

Introdução
    Observe as figuras:
Figura A
Figura B
Figura C
    Elas representam retângulos com escalas diferentes. Observe que os três retângulos tem a mesma forma, mas de tamanhos diferentes.
    Dizemos que esse mapas são figuras semelhantes.
    Nessas figuras podemos identificar:
             AB        - distância entre A e B (comprimento do retângulo)
            CD         - distância entre C e D (largura do retângulo)
               -  ângulos agudos formados pelos segmentos

   Medindo os segmentos de reta e e os ângulos () das figuras, podemos organizar a seguinte tabela:

m () m () ângulo
Fig. C 3,9 cm 1,3 cm = 90º
Fig. B 4,5 cm 1,5 cm = 90º
Fig. A 6,0 cm 2,0 cm = 90º
    Observe que:
  • Os ângulos correspondente nas três figuras têm medidas iguais;
  • As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;
                                               
    Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras são semelhantes em geometria quando:
  • os ângulos correspondentes têm medidas iguais ;
  • as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;
  • os elementos das figuras são comuns.
        Outro exemplos de figuras semelhantes:


têm formas iguais e tamanhos diferentes.


Polígonos Semelhantes
    Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:
    Observe que:
  • os ângulos correspondentes são congruentes:
                           
  • os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:
                           
                                                ou
                                  
    Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes e indicamos:
ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C' ")
   Ou seja:
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
   A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de semelhança, ou seja:
    A razão de semelhança dos polígonos considerados é
    Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.


Propriedades
Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos  polígonos.
Demonstração:
Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que:
Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados:
Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA
   
       Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'
Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:

    Exemplo:
  • Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo.
          Solução
   
       Razão de semelhança =

           
    Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.
author
Prof° Walter Coelho
Resolvi ensinar matemática de um jeito diferente, compartilhando!!!