CONJUNTOS NUMÉRICOS


Alguns conceitos primitivos


Conjunto

O conjunto de todos os brasileiros.
O conjunto de todos os números naturais.
O conjunto dos números reais tal que x²-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.


Elemento

José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
-2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.


Pertinência

José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
1 pertence ao conjunto dos números naturais.
-2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo CONJUNTOS numéricos, que se lê: "pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural, escrevemos:
1CONJUNTOS numéricosN
Para afirmar que 0 não é um número natural, escrevemos:
0CONJUNTOS numéricosN
Um símbolo matemático para a negação é a barra /.


Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
A = { a, e, i, o, u }
N = { 1, 2, 3, 4, ... }
M = { João, Maria, José }
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
A = { x : x é uma vogal}
N = { x : x é um número natural}
M = { x : x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler (lê-se: "Ven-óiler"): Os conjuntos são mostrados graficamente
CONJUNTOS numéricos


Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por ACONJUNTOS numéricosB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.


Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.


Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
ACONJUNTOS numéricosB = { x: aCONJUNTOS numéricosA ou xCONJUNTOS numéricosB }


Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
ACONJUNTOS numéricosB = { x: aCONJUNTOS numéricosA e xCONJUNTOS numéricosB }
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
CONJUNTOS numéricos


Propriedades dos conjuntos

Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por ACONJUNTOS numéricosB e a interseção de A e B, denotada por ACONJUNTOS numéricosB, ainda são conjuntos no universo.
Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
ACONJUNTOS numéricosA = A e ACONJUNTOS numéricos A = A

1. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
ACONJUNTOS numéricosACONJUNTOS numéricosB, BCONJUNTOS numéricosACONJUNTOS numéricosB, ACONJUNTOS numéricosBCONJUNTOS numéricosA, ACONJUNTOS numéricosBCONJUNTOS numéricosB

2. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
ACONJUNTOS numéricosB equivale a ACONJUNTOS numéricosB = B
ACONJUNTOS numéricosB equivale a ACONJUNTOS numéricosB = A

3. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
ACONJUNTOS numéricos(BCONJUNTOS numéricosC) = (ACONJUNTOS numéricosB)CONJUNTOS numéricosC
ACONJUNTOS numéricos(BCONJUNTOS numéricosC) = (ACONJUNTOS numéricosB)CONJUNTOS numéricosC

4. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
ACONJUNTOS numéricosB = BCONJUNTOS numéricosA
ACONJUNTOS numéricosB = BCONJUNTOS numéricosA

5. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A CONJUNTOS numéricosØ = A

6. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
A CONJUNTOS numéricosØ = Ø

7. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A CONJUNTOS numéricosU = A

8. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A CONJUNTOS numéricos( BCONJUNTOS numéricos C ) = ( A CONJUNTOS numéricosB )CONJUNTOS numéricos ( ACONJUNTOS numéricos C )
ACONJUNTOS numéricos ( B CONJUNTOS numéricosC ) = ( A CONJUNTOS numéricosB )CONJUNTOS numéricos (A CONJUNTOS numéricosC )
Os gráficos abaixo mostram a distributividade.
CONJUNTOS numéricos


Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A-B = { x: aCONJUNTOS numéricos e xCONJUNTOS numéricos B

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
CONJUNTOS numéricos


Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C BA, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
C BA = A-B = { x: xCONJUNTOS numéricos A e x CONJUNTOS numéricosB }

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
CONJUNTOS numéricos
Quando não existe dúvida sobre o universo U em que trabalhamos, simplesmente utilizamos a letra c posta como um expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Exemplos especiais são: Øc=U e Uc=Ø.


Leis de Augustus De Morgan

O complementar da reunião de dois conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(ACONJUNTOS numéricosB)c = Ac CONJUNTOS numéricosBc
O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(A1CONJUNTOS numéricos A2CONJUNTOS numéricos ... CONJUNTOS numéricosAn)c = A1CONJUNTOS numéricosc A2cCONJUNTOS numéricos ... CONJUNTOS numéricosAnc
O complementar da interseção de dois conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.
(ACONJUNTOS numéricosB)c = Ac CONJUNTOS numéricosBc


Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.
ACONJUNTOS numéricosB = { x: xCONJUNTOS numéricosACONJUNTOS numéricosB e xCONJUNTOS numéricosACONJUNTOS numéricosB }
A situação gráfica para a diferença simétrica é:
CONJUNTOS numéricos



Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, mostrar que:

1. A=Ø se, e somente se, B=ACONJUNTOS numéricosB.

2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.

3. A diferença simétrica é comutativa.

4. A diferença simétrica é associativa.

5. ACONJUNTOS numéricosA=Ø (conjunto vazio).

6. A interseção entre A e BCONJUNTOS numéricosC é distributiva, isto é:
ACONJUNTOS numéricos(BCONJUNTOS numéricosC) = (ACONJUNTOS numéricosB)CONJUNTOS numéricos(ACONJUNTOS numéricosC)

7. ACONJUNTOS numéricosB está contida na reunião de ACONJUNTOS numéricosC e de BCONJUNTOS numéricosC, mas esta inclusão é própria, isto é:
ACONJUNTOS numéricosBCONJUNTOS numéricos (ACONJUNTOS numéricosC)CONJUNTOS numéricos(BCONJUNTOS numéricosC)
conjuntos numéricos
I) Números Naturais
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }
II) Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }






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Prof° Walter Coelho
Resolvi ensinar matemática de um jeito diferente, compartilhando!!!