A MATEMÁTICA DA BOLA DE FUTEBOL




      Henrique Sá Earp, professor do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Unicamp, prefere destacar um teorema da geometria diferencial: o teorema de Gauss-Bonner. "Para mim, ele é um dos grandes destaques da matemática. Ele liga uma propriedade geométrica, a curvatura gaussina [a curvatura de uma superfície num ponto qualquer], com uma propriedade topológica, a característica de Euler [uma fórmula que liga vértices, faces e lados de figuras dispostas numa superfíe]. E tudo de forma muito simples."
      Henrique começa suas explicação assim: o estudante usa as ferramentas do cálculo para compreender a geometria diferencial, isto é, estudar as características das superfícies, ainda que curvas; e usa as ferramentas da topologia para estudar os objetos geométricos no que eles têm de invariável. "O teorema de Gauss-Bonnet é uma ponte entre a geometria diferencial e a topologia." Como exemplo, Henrique convida o estudante a considerar um objeto bem comum: uma bola de futebol.

      Quantos hexágonos (em geral, brancos) e quantos pentágonos ( em geral, pretos) existem numa bola de futebol? "Eu posso contar um a um", diz Henrique, "ou posso achar uma fórmula que faça isso por mim. Essa fórmula encontramos na característica de Euler." A fórmula relaciona a característica de Euler e(S) da superfície aos vértices V, faces F e lados L das figuras encaixadas na superfície:


V+F-L=e(S)

      Como os hexágonos e pentágonos numa bola são regulares, e como a característica de Euler da esfera é igual a 2, o estudante deve montar um sistema que relacione o número de vértices, faces e lados dos polígonos com e(S)=2. "Eu devo somar o número de hexágonos H e multiplicar por 6. Depois devo somar o número de pentágonos P e multiplicar por 5. Desse jeito,vou contar todas as arestas (ou lados) duas vezes. Também vou contar todos os vértices três vezes. Com isso, posso criar um sistema para obter o número de pentágonos e depois o número de hexágonos." Assim:


F=P+H
5P+6H=2L
5P+6H=3V
V-L+F=2

       Depois de resolver esse sistema, o estudante vai chegar a uma conclusão estranha:

P=12
H=|[x]|

       Isso significa: o número de pentágono é sempre 12, e o número de hexágonos pode ser qualquer número inteiro positivo, dependendo do tamanho da bola. Se o número de pentágonos não for igual a 12, o estudante não conseguirá costurar o ladrilhado de pentágonos e hexágonos de modo a fechá-lo na forma de uma esfera. "Quando as pessoas deparam com esse resultado, elas ficam perplexas", diz Henrique. "Elas querem aplicar o método a outros objetos do cotidiano. Guardadas as devidas proporções, esse é o fascínio que o matemático sente nas suas descobertas."
       Henrique acha reconfortante achar tanta ordem no cotidiano -pois tantas vezes o cotidiano se transforma numa bagunça completa, às vezes cheia de violência. Ele dá aula de geometria diferencial para alunos de mestrado, e diz que mesmo tais alunos reagem a essa descoberta com admiração. "Talvez porque eles já consigam antecipar o mar de consequências desse teorema de Gauss-Bonnet."

fonte: revista cálculo
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Prof° Walter Coelho
Resolvi ensinar matemática de um jeito diferente, compartilhando!!!