PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.
Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.
Cálculos do termo geral
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:
a1 | a2 | a3 | ... | a20 | ... | an | ... |
a1 | a1xq | a1xq2 | ... | a1xq19 | a1xqn-1 | ... |
Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.
an = a1 x qn-1
|
an = 2 x (1/2)n-1
|
a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8
|
Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + na
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn - a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:
Observe que neste caso a1 = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:
Dessa equação encontramos como resposta x = 50.
Olá Educador(a), Felicidades!
ResponderExcluirEstou aqui para convidar você a conhecer o Projeto Educadores Multiplicadores. O objetivo é unir e divulgar blog de educadores.
DIVULGUE SEU BLOG no EDUCADORES MULTIPLICADORES e fique em evidência. Compartilhe saberes!
A blogosfera é carente de blogs que tenham informações relevantes, mas você está contribuindo para que ela se torne cada vez mais rica em conhecimentos.
Esta parceria é exclusiva para blogs de Educadores e Professores que escrevem conteúdos ligados diretamente à Educação.
Faça parte da família dos Multiplicadores! Seu blog ficará mais conhecido entre os professores/educadores, alunos e escolas de todo o Brasil e Portugal. Amplie seu público!
Permita-me deixar o link para o blog Marquecomx (Divulgaremos seu blog também nas redes sociais): MARQUECOMX.
Abraços, fiquemos na Paz de Deus e até breve.
Irivan Rodrigues